Integration Questions

Question Number 137123 by bobhans last updated on 30/Mar/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} }\:\mathrm{dx}\:=? \\$$

Commented by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21

You're right, Sir. Greetings to you ! It's been quite a longtime since we last interracted. Haha !

Commented by MJS_new last updated on 30/Mar/21

$$\mathrm{I}\:\mathrm{get}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}}\left(\pi+\mathrm{2ln}\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right) \\$$

Commented by bobhans last updated on 30/Mar/21

$$\mathrm{I}\:\mathrm{got}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\left(\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\pi\right) \\$$

Commented by MJS_new last updated on 30/Mar/21

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}} \\$$$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}}=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\pi\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}}\left(\pi+\mathrm{2ln}\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right) \\$$

Answered by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21

$$\mathcal{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} }\mathrm{dx}\overset{\mathrm{u}=\mathrm{x}^{\mathrm{8}} } {=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{u}^{−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{8}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{u}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du} \\$$$$\:\:\:\overset{\mathrm{v}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } {=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{v}^{−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{v}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{v}}\mathrm{dv}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\psi\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\right)−\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)\right] \\$$

Answered by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21

$$\mathcal{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} }\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} }\mathrm{dx} \\$$$$\mathcal{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\$$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\right\}\mathrm{dt} \\$$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dt}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\mathrm{dt}\right\} \\$$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}−\int_{+\infty} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\right\} \\$$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\left[\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{u}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right]_{−\infty} ^{\mathrm{0}} +\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{v}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{v}}\mid\right]_{+\infty} ^{\mathrm{2}} \right\} \\$$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\left(\mathrm{0}+\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}\mid\right)\right\}=\frac{\pi}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}\mid \\$$