Integration Questions

Question Number 140961 by iloveisrael last updated on 14/May/21

$$\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\int}}\:\:\frac{\mathrm{ln}\:\left({x}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{{x}}\:{dx}\:=?\: \\$$

Answered by qaz last updated on 14/May/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left({x}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{{x}}{dx} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{dx}}{{yx}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{dx}}{{yx}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right) \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \frac{\mathrm{cos}\:{z}}{{y}\mathrm{sin}\:{z}+\mathrm{cos}\:{z}}{dz}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \frac{{d}\left(\mathrm{tan}\:{z}\right)}{\left({y}\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {z}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{du}}{\left({yu}+\mathrm{1}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{yu}+\mathrm{1}}+\frac{−{yu}+\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right){du}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }\left({yln}\frac{{yu}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right){dy}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }\left({ylny}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right){dy}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}} \\$$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ylny}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }{dy} \\$$$$=\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} \right){lny}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} \right)}{{y}}{dy}\right\}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {y}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} {dy} \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\$$

Answered by iloveisrael last updated on 15/May/21

$${with}\:{integral}\:{parameterized}\:{by}\:{a}>\mathrm{0} \\$$$${I}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\:\left({ax}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{{x}}\:{dx}\: \\$$$${I}\:'\left({a}\right)=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{ax}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}\:{dx}\: \\$$$${I}\:'\left({a}\right)\:=\:\left[\:\frac{{a}\:\mathrm{ln}\:\left(\frac{\left[\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]\left[\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+{ax}\right]}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }−{ax}}\right)+\mathrm{2arcsin}\:{x}}{\mathrm{2}\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right]_{{x}=\mathrm{0}} ^{{x}=\mathrm{1}} \\$$$$=\:\frac{{a}\:\mathrm{ln}\:{a}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\: \\$$$${I}\left(\mathrm{1}\right)−{I}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{{a}\:\mathrm{ln}\:{a}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{da}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{da} \\$$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{{a}\:\mathrm{ln}\:{a}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{da}\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:{a}^{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\:{a}\:{da} \\$$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\eta\left(\mathrm{2}\right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\$$$$\left(\mathrm{2}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{{da}}{\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\$$$${I}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}}\:{dx} \\$$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:{x}^{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}} \:{dx}\: \\$$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\zeta\left(\mathrm{2}\right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\$$$${I}\left(\mathrm{1}\right)=\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}} \\$$$$\\$$