Differentiation Questions

Question Number 160252 by mnjuly1970 last updated on 26/Nov/21

$$\\$$$$\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\:\right){ln}\left({x}\right)}{{x}}{dx}=? \\$$$$\\$$

Answered by TheSupreme last updated on 26/Nov/21

$${I}= \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\frac{{ln}\left({x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right){dx}= \\$$$${t}=\mathrm{1}−{x}\:\rightarrow{x}=\mathrm{1}−{t}\rightarrow{dx}=−{dt} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left({t}\right)}{{t}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{t}\right){dt} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left({t}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{t}\right)}{{t}}{dt} \\$$$$\left.\mathrm{2}{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$$\left.\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\frac{{ln}\left({x}\right)}{{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\:{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$${li}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{2}} {ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\mathrm{0} \\$$$${I}=\mathrm{0} \\$$

Commented by mr W last updated on 27/Nov/21

$${please}\:{recheck}\:{sir}! \\$$$${i}\:{don}'{t}\:{know}\:{how}\:{to}\:{solve}\:{this}\:{definite} \\$$$${integral},\:{but}\:{i}'{m}\:{sure}\:{it}\:{must}\:{be} \\$$$${negative}\:{and}\:{therefore}\:{can}\:{not}\:{be}\: \\$$$${zero}. \\$$$$\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)>\mathrm{0} \\$$$$\mathrm{ln}\:\left({x}\right)<\mathrm{0} \\$$$${x}>\mathrm{0} \\$$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\left({x}\right)}{{x}}<\mathrm{0} \\$$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\left({x}\right)}{{x}}{dx}<\mathrm{0} \\$$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\left({x}\right)}{{x}}{dx}\neq\mathrm{0} \\$$

Commented by MJS_new last updated on 27/Nov/21

$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:\mathrm{ln}\:{x}}{{x}}{dx}= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\right] \\$$$$=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{1}−{x}\:\rightarrow\:{dx}=−{dt}\right] \\$$$$=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\underset{\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{0}} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{t}\right)\:\mathrm{ln}\:{t}}{{t}}{dt}= \\$$$$=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{t}\right)\:\mathrm{ln}\:{t}}{{t}}{dt} \\$$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\$$$${I}=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +{I} \\$$$$\mathrm{we}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{this}\:\mathrm{way}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{am}\:\mathrm{I}\:\mathrm{too}\:\mathrm{tired}\right. \\$$$$\left.\mathrm{to}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{anything}?\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{2}:\mathrm{30}\:\mathrm{a}.\mathrm{m}.\right) \\$$

Commented by MJS_new last updated on 27/Nov/21

$$\mathrm{approximately} \\$$$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:\mathrm{ln}\:{x}}{{x}}{dx}\approx−.\mathrm{541161616604} \\$$

Answered by mnjuly1970 last updated on 27/Nov/21