Algebra Questions

Question Number 152019 by mathdanisur last updated on 25/Aug/21

$$\Omega\:=\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\int}}\:{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)\:{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:{dx}\:=\:? \\$$$${Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)−{polylogaritm}\:{function} \\$$

Answered by mnjuly1970 last updated on 25/Aug/21

$$\: \\$$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Aug/21

$$\Omega\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:{dx} \\$$$$\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} } \\$$$$\int\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right){dx}\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)} \\$$$$\Omega\:=\:\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)}.\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)}.\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}} \\$$$$\Omega\:=\:\mathrm{log2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{{k}} {\sum}}{x}^{{p}} \:{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}\:=\:\left[−\underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{{x}^{{p}+\mathrm{1}} }{{p}+\mathrm{1}}\:{dx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}\:=\:−\underset{{p}=\mathrm{0}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{p}+\mathrm{1}}\:{dx}+\mathrm{log2}\:=\:\mathrm{log2}−{H}_{{k}+\mathrm{1}} \\$$$$\Omega\:=\:\mathrm{log2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{log2}−{H}_{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)} \\$$$$\Omega\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)} \\$$$$...{break}...\:{I}\:{come}\:{back} \\$$$$\\$$

Commented by mathdanisur last updated on 25/Aug/21

$$\mathrm{Alot}\:\mathrm{cool}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you},\:\mathrm{please} \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 26/Aug/21

$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{Ser} \\$$

Answered by Kamel last updated on 25/Aug/21

Commented by mathdanisur last updated on 26/Aug/21

$$\mathrm{The}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong} \\$$

Answered by qaz last updated on 25/Aug/21

$$\Omega=\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right]\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\mathrm{ln2}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\mathrm{ln2}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}−\mathrm{2ln2}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\$$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\mathrm{ln2}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}−\mathrm{2ln2}+\mathrm{3} \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 26/Aug/21

$$\mathrm{The}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong}\:\mathrm{Ser} \\$$