Integration Questions

Question Number 157744 by mnjuly1970 last updated on 27/Oct/21

$$\\$$$$\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:\:\mathrm{Li}_{\:\mathrm{2}} \:\left(−\mathrm{x}\:\right)\:}{\mathrm{1}+\:\mathrm{x}}\mathrm{dx}=? \\$$$$\\$$$$\\$$

Answered by mindispower last updated on 27/Oct/21

$${ln}\left(\mathrm{2}\right){Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{2}\right)} \frac{{t}^{\mathrm{2}} {e}^{{t}} {dt}}{{e}^{{t}} −\mathrm{1}}=\Omega \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{2}\right)} {t}^{\mathrm{2}} {e}^{−{nt}} {d}=\frac{{t}^{\mathrm{2}} {e}^{−{nt}} }{−{n}}+\frac{\mathrm{2}}{{n}}\int{te}^{−{nt}} \\$$$$=\left[\left[−\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} }{t}−\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{{n}}\right]{e}^{−{nt}} \right]_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{2}\right)} =−\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{3}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{n}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{{n}}} +\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{3}} } \\$$$$\boldsymbol{\Omega}=\int_{\mathrm{0}} ^{{ln}\left(\mathrm{2}\right)} \underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}{t}^{\mathrm{2}} {e}^{−{nt}} {dt}=\frac{{ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}+\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(−\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{3}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} +\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{3}} }\right) \\$$$$\Omega=\frac{{ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}−\mathrm{2}{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2}{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left(−{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx}={ln}\left(\mathrm{2}\right){Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\frac{{ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\left({Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\zeta\left(\mathrm{3}\right)\right) \\$$$${Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right),{li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right),{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:{has}\:{close}\:{form} \\$$$$\\$$$$\left[\right. \\$$

Commented by mnjuly1970 last updated on 27/Oct/21

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{thanks}\:{alot}\:{sir}\:{power}..... \\$$

Commented by mindispower last updated on 27/Oct/21

$${withe}\:{pleasur}\:{God}\:{bless}\:{You} \\$$