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Question Number 186437 by aba last updated on 04/Feb/23

$$\\$$$$\: \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}}\:}\:{dx} \\$$$$\: \\$$

Commented by Frix last updated on 04/Feb/23

$$=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\frac{{dx}}{{x}^{\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}}} \left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}} }\:\mathrm{which}\:\mathrm{does}\:\mathrm{not}\:\mathrm{converge} \\$$$$\mathrm{The}\:\mathrm{indefinite}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is} \\$$$$−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}{x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}} }×_{\mathrm{2}} {F}_{\mathrm{1}} \:\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}};\:\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{32}};\:−{x}^{\mathrm{4}} \right)\:+{C} \\$$

Commented by aba last updated on 04/Feb/23

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\$$$$\\$$

Answered by a.lgnaoui last updated on 04/Feb/23

$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}\mathrm{3}\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}}={x}\left(\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\:{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}=\left(\frac{{x}}{{y}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}=\left(\frac{{x}}{{y}}\right)^{\mathrm{4}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\:{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}=\left(\frac{{x}}{{y}}\right)^{\mathrm{6}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}=\frac{{x}^{\mathrm{9}} }{{y}^{\mathrm{6}} }\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\mathrm{6}} =\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\:{x}^{\mathrm{9}} }\left(\mathrm{1}\right) \\$$$$\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} }{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}=\frac{{d}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\right)}{{dx}}\left(\mathrm{2}\right) \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\frac{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\$$$$\\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}}}=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\$$$$=\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} }{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{6}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{6}} }\frac{{d}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\right)}{{dx}} \\$$$$\\$$$${x}^{\mathrm{2}} ={t}\:\:\:\:\:{dx}=\frac{{dt}}{\mathrm{2}{x}}=\frac{{dt}}{\mathrm{2}\sqrt{{t}}} \\$$$$\frac{{dt}}{\:\mathrm{2}{t}\sqrt{{t}}\:\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }=\frac{{dt}}{\:\mathrm{2}\left[\sqrt{{t}}\:\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} \right]}\: \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\sqrt{{t}}\right)^{\mathrm{3}} }\:×\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} } \\$$$${U}^{'} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:\:\:\:{V}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{3}} \\$$$${U}=−{t}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\:{V}^{'} =−\mathrm{2}{t}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{−\mathrm{6}} \\$$$${I}=\frac{−\sqrt{{t}}}{\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }+\int\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{{t}}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }{dt} \\$$$$\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{{t}}\:\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}=−\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}}}×\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{3}} \\$$$${I}=\left[\frac{−\sqrt{{t}}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right]−\mathrm{2}{I} \\$$$$\mathrm{3}{I}=\left[\frac{−\sqrt{{t}}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \Rightarrow{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\frac{−\sqrt{{t}}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\: \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\$$

Commented by aba last updated on 04/Feb/23

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{sir} \\$$$$\mathrm{error}\:\mathrm{line}\:\mathrm{5}\::\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{9}} }{\mathrm{y}^{\mathrm{6}} }\:\Rightarrow\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{6}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{9}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)} \\$$

Commented by aba last updated on 05/Feb/23

$$\mathrm{the}\:\mathrm{integrale}\:\mathrm{does}\:\mathrm{not}\:\mathrm{converge} \\$$

Commented by Frix last updated on 05/Feb/23

$$\mathrm{Nonsense}\:\mathrm{again}. \\$$$$\sqrt{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}}={x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \sqrt[{\mathrm{4}}]{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}}= \\$$$$={x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \sqrt[{\mathrm{8}}]{{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}={x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}} \sqrt[{\mathrm{16}}]{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}= \\$$$$={x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}} \left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}} ={x}^{\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}}} \left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}} \\$$