Integration Questions

Question Number 103312 by bemath last updated on 14/Jul/20

$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }\:{dx}\:? \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Jul/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{1}}{{sec}^{\mathrm{12}} \theta}{sec}^{\mathrm{2}} \theta{d}\theta=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {cos}^{\mathrm{10}} \theta{d}\theta....{continue} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {cos}^{\mathrm{10}} \theta{d}\theta=\frac{\mathrm{63}\pi}{\mathrm{512}} \\$$

Commented by Ar Brandon last updated on 14/Jul/20

$$\mathrm{Cool}! \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}^{\mathrm{10}} \theta\mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\centerdot\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\centerdot\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\centerdot\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\centerdot\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{63}\pi}{\mathrm{512}} \\$$$${Walli}'{s}\:{method} \\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Jul/20

$${Thanking}\:{you} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jul/20

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }\:\:\Rightarrow\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }\:\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} } \\$$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow+\infty} \mid\mathrm{zf}\left(\mathrm{z}\right)\mid\:=\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{6}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{6}} } \\$$$$\mathrm{so}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\$$$$\mathrm{Res}\:\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{6}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{6}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{5}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}!}\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{6}} \right\}^{\left(\mathrm{5}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}!}\left(−\mathrm{6}\right)\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{7}} \right\}^{\left(\mathrm{4}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}!}\left(−\mathrm{6}\right)\left(−\mathrm{7}\right)\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{8}} \right\}^{\left(\mathrm{3}\right)} \\$$$$\\$$

Commented by abdomathmax last updated on 14/Jul/20

$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \frac{\mathrm{42}}{\mathrm{5}!}\left(−\mathrm{8}\right)\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{9}} \right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{5}!}\left(−\mathrm{8}\right)\left(−\mathrm{9}\right)\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{10}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{42}×\mathrm{72}}{\mathrm{5}!}\left(−\mathrm{10}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{11}} \\$$$$=−\frac{\mathrm{42}×\mathrm{720}}{\mathrm{5}!\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{11}} }\:=−\frac{\mathrm{42}×\mathrm{720}}{\mathrm{5}!\:×\mathrm{2}^{\mathrm{11}} \left(−\mathrm{i}\right)}\:=\frac{\mathrm{42}×\mathrm{720}}{\mathrm{5}!\:×\mathrm{2}^{\mathrm{11}} \mathrm{i}} \\$$$$\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:×\frac{\mathrm{42}×\mathrm{720}}{\mathrm{5}!×\mathrm{2}^{\mathrm{11}} \mathrm{i}\:} \\$$$$=\frac{\mathrm{84}×\mathrm{720}}{\mathrm{5}!×\mathrm{2}^{\mathrm{11}} }\pi\:=\mathrm{2I}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{84}×\mathrm{720}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{12}} \:×\mathrm{5}!}\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{simplification}.. \\$$

Answered by OlafThorendsen last updated on 14/Jul/20

$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} } \\$$$${x}\:=\:\mathrm{tan}{u} \\$$$${dx}\:=\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {u}\right){du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {u}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {u}\right)^{\mathrm{6}} }{du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \frac{{du}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {u}\right)^{\mathrm{5}} } \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {u}\right)^{\mathrm{5}} {du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{10}} {udu} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \left(\frac{{e}^{{iu}} +{e}^{−{iu}} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{10}} {du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{10}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{{k}} {e}^{{iku}} {e}^{−{iu}\left(\mathrm{10}−{k}\right)} {du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{10}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{{k}} {e}^{\mathrm{2}{iu}\left({k}−\mathrm{5}\right)} {du} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} }\left[\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{5}} {u}+\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{k}=\mathrm{4}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{{k}} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}{u}\left({k}−\mathrm{5}\right)\right)}{\mathrm{2}\left({k}−\mathrm{5}\right)}\right]_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} }\left[\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{5}} \frac{\pi}{\mathrm{2}}+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{k}=\mathrm{4}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{{k}} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\left({k}−\mathrm{5}\right)\right)}{\left({k}−\mathrm{5}\right)}−\mathrm{0}\right] \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi\mathrm{C}_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{5}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{11}} }\: \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{512}}\pi\:\left(\approx\mathrm{0},\mathrm{387}...\right) \\$$

Answered by bramlex last updated on 15/Jul/20

$$\mathrm{consider}\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\:,\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\begin{cases}{\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }}\\{\mathrm{dv}\:=\:\mathrm{1}.\mathrm{dx}}\end{cases} \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}} \\$$$$\frac{\mathrm{2nx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{dx} \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{0}+\mathrm{2n}\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{dx} \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{2n}\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\right. \\$$$$\left.−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\mathrm{dx} \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{2n}\left(\mathrm{I}_{\mathrm{n}} −\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\:,\mathrm{solving}\:\mathrm{for} \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{yields}\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}×\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \\$$$$\mathrm{so}\:\mathrm{then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{1}} } \\$$$$\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{arctan}\:\mathrm{x}\:\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}. \\$$$$\mathrm{repeated}\:\mathrm{use}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{recurrence} \\$$$$\mathrm{gives}\:\mathrm{us}\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\:\frac{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}...\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}.\mathrm{4}.\mathrm{6}...\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}\mathrm{I}_{\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{finally}\:\mathrm{we}\:\mathrm{take}\:\mathrm{n}=\mathrm{6} \\$$$$\mathrm{to}\:\mathrm{conclude}\:\mathrm{that}\: \\$$$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{7}.\mathrm{9}}{\mathrm{2}.\mathrm{4}.\mathrm{6}.\mathrm{8}.\mathrm{10}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\$$$$=\:\frac{\mathrm{63}\pi}{\mathrm{512}}\:\blacksquare\: \\$$