Question Number 218150 by Shrodinger last updated on 31/Mar/25 | ||
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$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{2}{x}}\right){dx} \\ $$ | ||
Answered by MrGaster last updated on 31/Mar/25 | ||
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$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{2}{x}}\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\right)\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}+\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{{n}} {dx}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{ln}\left({x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left({x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{2}{x}}\right){dx}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$ | ||